Дорогой дневник!

Не могу сказать, что зачитывалась в детстве Мартином Гарднером. Но книжки его были мне весьма интересны. Хоть и не всегда понятны =) Да чего уж греха таить, я и сейчас не до конца понимаю некоторые вещи.

Предлагаю тебе, дорогой дневник, небольшую зарисовку про теорию вероятностей и котиков. Все любят котиков =)

Было у кошки четверо котят

При подсчете вероятностей легко допустить ошибку. Перед вами супружеская чета - кот и кошка.

М-р Кэт: Дорогая, сколько котят родилось у нас на этот раз?

М-с Кэт: Не видишь, что ли? Четверо.

M-р Кэт: А сколько из них мальчики?

М-с Кэт: Трудно сказать. Пока я этого и сама не знаю.

М-р Кэт: Маловероятно, чтобы все четверо были мальчиками.

М-с Кэт: Маловероятно, чтобы все четверо были девочками.

М-р Кэт: Возможно, среди них только один мальчик.

М-с Кэт: Возможно, среди них только одна девочка.

М-р Кэт: К чему гадать? Обратимся лучше к теории вероятностей. Каждый котенок с вероятностью 1/2 либо мальчик, либо девочка. Следовательно, если у нас четверо котят, то наиболее вероятно, что среди них два мальчика и две девочки. Ты еще никак их не назвала, дорогая?

Правильно ли рассуждал м-р Кэт? Проверим его теорию. Пусть М означает «мальчик», а Д - «девочка». Выпишем все 16 возможных комбинаций.

М М М М
М М М Д
М М Д М
М М Д Д
М Д М М
М Д М Д
М Д Д М
М Д Д Д
Д М М М
Д М М Д
Д М Д М
Д М Д Д
Д Д М М
Д Д М Д
Д Д Д М
Д Д Д Д

Только в 2 из 16 случаев все четверо котят одного пола. Вероятность рождения 4 мальчиков или 4 девочек составляет поэтому 2/16, или 1/8. М-р Кэт был прав, считая такое событие маловероятным.

А какова вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек? М-р Кэт считал такую комбинацию наиболее вероятной. Два мальчика и две девочки рождаются в 6 случаях из 16. Вероятность такой комбинации равна 6/16, или 3/8, что больше, чем 1/8. Возможно, м-р Кэт прав.

Для того чтобы окончательно выяснить, прав ли м-р Кэт, нам осталось вычислить вероятность рождения трех мальчиков и одной девочки или трех девочек и одного мальчика. Они рождаются в 8 случаях из 16, поэтому комбинация 3:1 встречается с вероятностью 8/16, или 1/2, то есть более вероятна, чем комбинация 2 : 2. Не ошиблись ли мы?

Если мы правильно вычислили все вероятности, то они в сумме должны составлять 1.

Их сумма действительно равна 1. Следовательно, мы учли все возможные пропорции полов в группе из 4 котят. М-р Кэт ошибался. С наибольшей вероятностью можно утверждать, что у него родились либо 3 сына и 1 дочь, либо 3 дочери и 1 сын.

Большинству людей кажется удивительным, что в семье с четырьмя детьми более вероятно встретить трех мальчиков и одну девочку или трех девочек и одного мальчика, чем двух мальчиков и двух девочек. Тем не менее это действительно так, в чем нетрудно убедиться, рассматривая достаточно длинную серию бросаний 4 монет. Если вы запишете исход каждого бросания, то через 100 бросаний убедитесь, что примерно в 50 случаях 3 монеты выпадали одной стороной, а 1 - другой и только в 33 случаях 2 монеты выпадали одной стороной и 2 монеты - другой стороной.

Вот такие дела, дорогой дневник. С любовью, твоя Ксеня.