Музыка существует чуть ли не с начала существования человечества, поэтому некий Пифагор, отличавшийся особым умом и сообразительностью, не упустил возможности поэкспериментировать со звуком. Это не значит, что он был единственным, или что он был первым, но речь сейчас будет именно о нём.  
  
Товарищ обратил внимание, что вторая гармоника (или второй обертон, как выражаются музыканты) очень хорошо сливается с основным тоном. Четвёртая — аналогично. Третья тоже сливается, но не так идеально красиво, как вторая или четвёртая. Особенности человеческого слуха и психики, однако. 

(А раз звуки сливаются, то и называть их стали одинаковыми именами. Хоть названия нот придумали намного позже, буду употреблять их здесь).

Дальше начинается интересное. Певцу, чтобы петь, необходимо выбрать (обычно это происходит абсолютно интуитивно =^_^=) некий опорный звук, будем называть его словом тоника. От него можно спеть звук частотой в два раза выше (или, как  оворят, на октаву выше. Октава — это интервал, в котором две ноты отличаются друг от друга по частоте ровно в два раза). Это сделать достаточно просто. Но ведь на двух звуках много песен не споёшь, нужно в этом частотном интервале определить ещё какие-нибудь ноты.

В принципе, можно петь на любой частоте, можно хоть на 20 частей октаву поделить, но не все звуки будут красиво сливаться с основным тоном. Надо как-то выбрать музыкальный строй — принцип частотных соотношений между музыкальными звуками, то есть, собственно, определить количество звуков и установить частотные соотношения между ними. Тогда музыка будет звучать красиво. 

  
Задача определения звуков в октаве называется темперацией. Эту задачу Пифагор решил следующим образом: 

♬ 1 звук: тоника, частота f, нота.. пусть будет ДО

♬ 2 звук: вторая гармоника от тоники, 2×f, нота.. тоже ДО, но на октаву выше.

Остальные звуки должны располагаться по частоте между f и 2×f  

♬ 3 звук: берём третью гармонику от тоники, частота 3×f. Это много. Делим пополам, получаем 3/2×f. Нота СОЛЬ. Она очень хорошо сливается с нотой ДО, потому что на два колебания ноты ДО приходится три колебания ноты СОЛЬ.

Что ж, раз нота СОЛЬ так хорошо сливается с нотой ДО, то давайте и дальше умножать частоты на 3/2 и загонять их в интервал между f и 2×f.

♬4 звук: берём 3/2×f, умножаем на 3/2, получим 9/4×f. Это как-то очень высоко, поделим на два, чтобы попасть в заданный интервал. Получаем звук 9/8×f, нота РЕ.

 И так далее:

♬ 5 звук: 9/8×f умножаем на 3/2, получаем 27/16×f, нота ЛЯ

♬ 6 звук: 27/16×f умножаем на 3/2, получаем 81/32×f. Это больше, чем 2×f, делим на два, получаем 81/64×f нота МИ

♬ 7 звук: 81/64×f умножаем на 3/2, получаем 243/128×f, нота СИ

♬ 8 звук: 243/128×f, умножаем на 3/2, получаем.. тут получались дикие дроби и эту ноту не стали использовать. Чтобы заполнить промежуток между нотами МИ  и СИ, взяли и умножили f на 4 и поделили на 3. Этот звук тоже хорошо сливался с нотой ДО, поэтому его оставили. И назвали ФА. Почему так сделали? Я не знаю. 

В общем, можно было бы ещё больше нот напихать, но получается жесть: чем больше знаменатель дроби, тем сложнее эту ноту на инструменте выстроить. А ещё особенность человеческого слуха такова, что нам нравятся звуки, отношение частот которых выражается небольшими целыми числами, такие комбинации двух звуков называются консонансами. Если же числа в числителе и знаменателе дроби получаются большими, то мы получаем диссонанс, он неприятен человеческому слуху.  Так уж вышло.
  
Так что нота СИ первая пошла под нож. Да и отмерять 128 частей от 243 — задача неимоверно сложная. 

И осталось у нас пять звуков:  
  
ДО - - - РЕ - - - МИ - - - СОЛЬ - - - ЛЯ  
  
Называется подобный ряд замечательным словом пентатоника, которая использовалась (используется) во многих народных ладах. Петь легко, настроить инструмент легко..  
  
Итак, получили мы следующее деление октавы на звуки:  
  
ДО : 1×f  
РЕ : 9/8×f,  
МИ : 81/64×f 
ФА : 4/3×f
СОЛЬ : 3/2×f  
ЛЯ : 27/16×f  
СИ : 243/128×f,
ДО : 2×f  

Вроде бы всё хорошо, если бы всё не было так плохо. А именно: когда музыка стала многоголосной, то выяснилось, что некоторые звуки, взятые одновременно, звучат ужасно. 

Небольшое отступление: расстояние между двумя нотами называется интервалом:  
- расстояние от любой ноты до самой себя называется примой: до-до, ре-ре, ми-ми, фа-фа...
- интервал между двумя соседними нотами — секунда: до-ре, ре-ми, ми-фа...
- расстояние через ноту — терция: до-ми, ре-фа, ми-соль, фа-ля...
- кварта: до-фа, ре-соль, ми-ля, фа-си, соль-до, ля-ре...
- квинта: до-соль, ре-ля, ми-си...
- секста: до-ля, ре-си, ми-до...
- септима: до-си, ре-до, ми-ре, фа-ми...
- октава: до-до, ре-ре, ми-ми...  

Чтобы понять, почему так происходит, построим табличку с нашими звуками и их гармониками до пятой включительно:

Если мы споём терцию ДО-МИ, то она будет звучать фальшиво. Внимательно смотрим на табличку: четвёртая гармноника от МИ есть 81/16 от частоты ДО, а пятая гармоника от ДО есть 80/16. Эти обертоны вступают в конфликт, мы слышим биения и нам это не нравится.

Внимательно посмотрите на табличку: ноты РЕ, ФА, СОЛЬ не имеют особо больших цифр в числителях и знаменателях и более-менее красиво звучат с тоникой, а вот с нотами МИ, ЛЯ и СИ надо что-то делать. Поэтому был предложен так называемый чистый строй, который получается при настройке с использованием пятых гармоник, а именно:  

♬ Ноты РЕ, ФА и СОЛЬ настраиваем по Пифагору.
♬ Нота МИ: берём пятую гармонику от ДО (5×f) и делим её на 4. Получаем 5/4×f
♬ Нота ЛЯ: берём пятую гармонику от ФА (20/3×f) и делим её на 4. Получаем 5/3×f
♬ Нота CИ: берём пятую гармонику от СОЛЬ (15/2*f) и делим её на 4. Получаем 15/8×f

Получаем следующее деление октавы:  
  
ДО : 1×f  
РЕ : 9/8×f,  
МИ : 5/4×f  
ФА : 4/3×f  
СОЛЬ : 3/2×f  
ЛЯ : 5/3×f  
СИ : 15/8×f,  
ДО : 2×f  

Настроить инструмент теперь стало ГОРАЗДО легче, потому что в самом наихудшем случае нам надо частоту поделить на 8, а не на 128, как в строе имени Пифагора.

А что у нас получилось с интервалами?? Давайте построим две таблички и внимательно на них посмотрим:  
 

Мы видим, что некоторые интервалы превратились из диссонансов в консонансы. И наоборот. У Пифагора все терции — диссонансы, в чистом строе же большинство терций — консонансы.  
  
Но самая жесть в том, что появилась нехорошая квинта от ноты Ре, да и две кварты стали звучать ужасно. Что привело в дальнейшем к большим проблемам в инструментальной музыке. Но об этом — в следующий раз.